Résumé : Ce travail de thèse est consacré à l’étude d’équations d’évolution et d’équations différentielles à argument constant par morceaux. L’étude des équations différentielles à argument constant par morceaux est un domaine important car ces équations ont la structure de système dynanmique de longueur constante. La continuité des solutions conduit à une relation de récurrence entre les valeurs de cette dernière entre les points n et n+1, où n est un entier relatif quelconque. Par conséquent les équations différentielles à argument constant par morceaux combinent à la fois les propriétés des équations différentielles et des équations aux différences. Nous étudierons l’existence de solutions presque automorphes et S-asymptotiquement omega-périodiques d’équations d’évolutions et d’équations à argument constant par morceaux. L’étude de solutions presque automorphes et S’asymptotiquement omega periodiques est motivé par le fait que ces fonctions généralisent celle des fonctions périodiques. Nous obtiendrons donc des résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions presque automorphes et S asymptotiquement omega périodiques de plusieurs équations d’évolutions. Cette problématique sera notamment étudiée dans le cadre des équations d’évolutions appartenant à la classe des équations différentielles à argument constant par morceaux.
This thesis deals with the study of evolution equations and differential equations with piecewise constant argument. Studies of such equations were motivated by the fact that they represent a hybrid of discrete and continuous dynamical systems and combine the properties of both differential and differential-difference equations. We study the existence of almost automorphic solutions and S asymptotically omega periodic solution of evolution equations and differential equations with piecewise constant argument. The study of almost automorphic and S asymptotically omega periodic functions is motivated by the fact that these functions generalize the concept of periodic functions. Therefore, we obtain results about existence and unicity of almost automorphic and S asymptotic omega periodic solution of evolution equations. We will study this problem considering evolution equations who belong to a class of differential equation with piecewise constant argument.
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